Keszthelyen született 1811. december 18-án (újabb kutatások szerint lehetséges, hogy 1810-ben). Angol felmenőkkel rendelkező apja a Georgikon tanára, majd igazgatója volt, s ő irányította a Festetics-féle tangazdaságot. A család 1818-ban a vajdasági Zomborba költözött. Mérnöki tanulmányait a selmecbányai Bányászati Akadémián kezdte, de oklevelét már Pesten szerezte meg 1834-ben. Előbb vízépítő mérnökként dolgozott, majd 1844-ben Temes vármegye építészeti igazgatója lett s részt vett a Széchenyi kezdeményezésére folyó al-dunai szabályozási munkálatokban és a Lánchíd építésében is.
A szabadságharc kitörésekor jelentkezett a honvédseregbe, ahol vezérkari százados, őrnagy, Klapka hadmérnöke, majd 1849 júliusától alezredesként Kossuth Lajos szárnysegédje, a kormányzói hivatal katonai osztályának vezetője lett. A világosi fegyverletétel után követte a kormányzót Törökországba, útközben unokatestvérével menekülés közben Orsovánál ő ásta el a Szent Koronát, hogy az ne kerüljön osztrák kézbe. (Bátyja. Asbóth Lajos ezredesként szolgált a szabadságharcban, ezért halálra ítélték, amit 18 évi várfogságra változtattak, s 1856-ban szabadult.)
Asbóth Magyarországon maradt menyasszonya emigrációjának korai szakaszában meghalt, s ő soha nem nősült meg. 1851-ben az Egyesült Államokban telepedett le, állampolgárságért folyamodott. Kossuthnak, ahol tudott továbbra is segített, például fegyvervásárlások ügyében, az emigráns szabadságharcosokkal való kapcsolattartásban.
Először építési rajzoló, majd a syracusai csatornaépítés főmérnöke lett, a Sziklás-hegységben ércbányákat tárt fel és acélöntödét létesített. Elnyerte New York város tervező- és kivitelezőmérnöki posztját, városrendezési és fejlesztési terveit később az 1933-as chicagói világkiállításon mutatták be. Ő alkalmazta először járdaburkolásra New Yorkban az olcsó és tartós bitumenaszfaltot, s a Central Park terveinek engedélyezésében is része volt. Nagyon jól tudta hasznosítani vízrendezési tapasztalatait a Manhattan-félsziget rendezésében, az ottani Washington Heights szabályozásában.
Az amerikai polgárháború 1861-es kirobbanásakor jelentkezett az északi hadseregbe, ahol képzett és tapasztalt tisztként azonnal magas beosztásba került. Ezredesi rangban John C. Frémont tábornok seregének vezérkari főnöke lett Missouri államban, színes bőrűekből álló ezredeket is szervezett, amelyek élére nem egyszer magyar emigráns tiszteket nevezett ki. (Lincoln seregében több tucat magyar tiszt harcolt.) Amennyire kedvelték Asbóthot az északiak, épp annyira gyűlölték - az előbbiek miatt - a déliek.
Dandárja több fontos hadműveletben vett részt, a Pea Ridge mellett aratott győzelem elismeréseként dandártábornokká léptették elő, majd a Kongresszus elfogadta tábornoki (altábornagyi) kinevezését, Florida és Kentucky katonai parancsnoka lett. 1864-ben egy lovasroham során több puskalövés érte, bal karja megbénult és egy golyó az arccsontjába fúródott. Ennek eltávolítását senki nem vállalta, s a lövedék a polgárháború fájdalmas emlékeként élete végéig ott maradt. Sérülése ellenére szolgálatban maradt, egészen a polgárháború végéig.
1866-ban az Egyesült Államok argentínai nagykövetévé nevezték ki, Buenos Aires-i állomáshelyéről a következő évtől az uruguayi nagykövetséget is irányította. Diplomataként közvetített a paraguayi háborúban, fegyverszünetre vette rá az ellenséges feleket, a békekötést azonban már nem érte meg. Fejsebe egyre elviselhetetlenebb lett, és bár szeretett volna még egyszer a szülőföldjére eljutni, már nem tehette meg: 56 (vagy 57) éves korában, 1868. január 21-én Buenos Airesben elhunyt.
Argentínában nemzeti gyászt rendeltek el tiszteletére, katonai pompával búcsúztatták, sírját a Buenos Aires-i angol temetőben az Egyesült Államok és Magyarország címere díszítette. 1990. október 23-án - végrendeletének megfelelően - hamvait Washingtonba szállították, s a főváros melletti Arlingtoni Nemzeti Temetőben helyezték örök nyugalomra.
Asbóth Sándort a polgárháború kiemelkedő hőseként tartja számon az amerikai hadtörténet. A tábornok élete végéig hű maradt a szabadságharc eszméjéhez és szülőhazájához, szabadságszeretete, elkötelezettsége vezette katonai és diplomata pályáján is. Keszthelyen a barokk intézői ház, szülőháza falán van emléktáblája, 2001-ben egy keszthelyi középiskola és kollégium Asbóth Sándor nevét vette föl.